Persamaan Lingkaran.
Pengertian lingkaran.
Lingkaran adalah tempat kedudukan atau
himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik yang
tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran dan jarak
yang tetap tersebut dinamakan jari-jari lingkaran.
Persamaan lingkaran berpusat di O(0,0).
Jika titik A(x,y) terletak pada
lingkaran yang berpusat di o, maka berlaku OA = jari-jari lingkaran.
Dengan menggunakan rumus jarak titik O(0,0) ke titik A(x,y) diperoleh :
Persmaan lingkaran berpusat di titik A(a,b).
Jika titik A(a,b) adalah pusat lingkaran
dan titik B(x,y) terletak pada lingkaran, maka jari-jari lingkaran r
sama dengan jarak dari A ke B.
A Persamaan Lingkaran
1. Pengertian Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan atau
himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu
titik yang tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan
pusat lingkaran dan jarak yang tetap tersebut dinamakan
jari-jari lingkaran.
Dari gambar di samping, titik O adalah pusat
lingkaran. Titik A, B, C, D terletak pada lingkaran, maka
OA = OB = OC = OD adalah jari-jari lingkaran = r.
2. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0, 0) dan (a, b)
a. Persamaan Lingkaran dengan Pusat di O(0, 0)
Jika titik A(xA , yA) terletak pada lingkaran yang berpusat di O, maka berlaku
OA = jari-jari lingkaran. Dengan menggunakan rumus jarak titik O(0, 0) ke titik
A(xA , yA) diperoleh:
OA = r = ( 0)2 ( 0)2 A A x −y −
r2 = (xA – 0)2 + (yA – 0)2
r2 = xA
2 + yA
2
Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0)
dan berjari-jari r adalah:
x2 + y2 = r2
Untuk lebih memahami tentang cara menentukan
persamaan lingkaran berpusat di O(0, 0),
b. Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik A(a, b)
Jika titik A(a, b) adalah pusat lingkaran dan titik
B(x, y) terletak pada lingkaran, maka jari-jari
lingkaran r sama dengan jarak dari A ke B.
r = jarak A ke B
r2 = (AB)2
= (xB – xA)2 + (yB – yA)2
= (x – a)2 + (y – b)2
Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b)
dan berjari-jari r adalah:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Untuk memahami tentang persamaan lingkaran berpusat di titik A (a, b), perhatikan
3. Menentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran yang Persamaannya
Diketahui
Berdasarkan persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari r adalah:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
Jika –2a = 2A, –2b = 2B dan a2 + b2 – r2 = C, maka diperoleh bentuk umum persamaan
lingkaran:
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, di mana pusatnya (–A, –B) dan jarijari
lingkaran (r) = a2 b2 −C2 atau r = A2 B2 −C
4. Kedudukan Titik dan Garis terhadap Lingkaran
a. Posisi Titik P(x1, y1) terhadap Lingkaran x2 + y2 = r2
1) Titik P(x1, y1) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku x1
2 + y1
2 < r2. 2) Titik P(x1, y1) terletak pada lingkaran, jika berlaku x1 2 + y1 2 = r2. 3) Titik P(x1, y1) terletak di luar lingkaran, jika berlaku x1 2 + y1 2 > r2.
Maka ada tiga kemungkinan posisi garis terhadap suatu lingkaran yaitu:
1) Jika D < 0, maka persamaan garis y = mx + n terletak di luar lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, dan tidak memotong lingkaran atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih dari jari-jari lingkaran (k > r).
2) Jika D = 0, maka persamaan garis y = mx + n terletak pada lingkaran
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dan memotong lingkaran di satu titik atau jarak
pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari lingkaran (k = r).
3) Jika D > 0, maka persamaan garis garis y = mx + n terletak di dalam lingkaran
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, dan memotong lingkaran di dua titik atau jarak
pusat lingkaran ke garis lebih kecil dari jari-jari lingkaran (k < r). Perhatikan gambar berikut. D < 0 D = 0 D > 0
B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
1. Persamaan Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik pada
Lingkaran
Telah kamu pelajari bahwa posisi garis terhadap lingkaran ada tiga kemungkinan,
yaitu garis yang memotong lingkaran di dua titik yang berbeda, garis yang tidak memotong
lingkaran, dan garis yang memotong lingkaran di satu titik atau yang sering disebut garis
singgung pada lingkaran.
a. Persamaan Garis Singgung di Titik P (x1, y1) pada Lingkaran
x2 + y2 = r2
Garis singgung l menyinggung lingkaran x2 + y2 = r2 di titik P(x1, y1) karena OP ⊥
garis l.
Persamaan garis singgungnya sebagai berikut.
y – y1 = ml (x – x1)
y – y1 = 1
1
x
y −(x – x1)
y1 (y – y1) = –x1 (x – x1)
y1y – y1
2 = –x1x + x1
2
x1x + y1y = x1
2 + y1
2
x1x + y1y = r2
Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2 di (x1, y1) ialah:
x1x + y1y = r2
b. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik (x1, y1) pada Lingkaran
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
c. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Q(x1, y1) pada Lingkaran
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0
Dari persamaan garis singgung melalui titik Q(x1, y1) pada lingkaran (x – a)2 +
(y – b)2 = r2 adalah:
(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
x1x – ax1 – ax + a2 + y1y – by1 – by + b2 = r2
x1x – a(x1 + x) + a2 + y1y – b(y1 + y) + b2 = r2
x1x + y1y – a(x1 + x) – b(y1 + y) + a2 + b2 – r2 = 0
Misalnya A = –a, B = –b, dan C = a2 + b2 – r2, persamaannya menjadi:
x1x + y1y – a(x1 + x) – b(y1 + y) + a2 + b2 – r2 = 0
x1x + y1y + A(x1 + x) + B(y1 + y) + C = 0
Maka persamaan garis singgung melalui Q(x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 + 2Ax +
2By + C = 0 adalah
x1x + y1y + A(x1 + x) + B(y1 + y) + C = 0
d. Persamaan Garis Singgung Kutub (Polar)
Jika melalui titik A(x1, y1) di luar lingkaran ditarik dua buah garis singgung pada
lingkaran dengan titik singgungnya B(x2, y2) dan C(x3, y3), maka persamaan garis
BC adalah x1x + y1y = r2 disebut garis kutub pada lingkaran dan titik A(x1, y1)
disebut titik kutub.
Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A(x1, y1) di luar lingkaran dapat
ditentukan dengan langkah-langkah:
1) Membuat persamaan garis kutub dari
titik A(x1, y1) terhadap lingkaran.
2) Melalui titik potong antara garis kutub
lingkaran.
3) Membuat persamaan garis singgung
melalui titik potong garis kutub dan
lingkaran.
2. Persamaan Garis Singgung yang Gradiennya Diketahui
a. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran
x2 + y2 = r2
Untuk persamaan garis singgung y = mx + n
⇒x2 + (mx + n)2 = r2
⇔x2 + m2x2 + 2mnx + n2 – r2 = 0
⇔(1 + m2)x2 + 2mnx + n2 – r2 = 0
Syarat menyinggung adalah D = 0, sehingga
(2mn)2 – 4(1 + m2) (n2 – r2) = 0
4m2n2 – 4(n2 + m2n2 – r2 – m2r2) = 0 :4
m2n2 – n2 – m2n2 + r2 + m2r2 = 0
⇔n2 = r2 + m2r2
⇔n2 = r2 (1 + m2)
⇔n = ± r 1m2
b. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Dengan cara seperti mencari persamaan garis singgung dengan gradien m pada
lingkaran x2 + y2 = r2 adalah:
y = mx ± r 1m2
Maka persamaan garis singgung dengan gradien m terhadap lingkaran
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 adalah:
y – b = m(x – a) ± r 1m2
c. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0
Dengan cara yang sama, persamaan garis singgung gradien m terhadap lingkaran
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dapat ditentukan dengan cara mengubah dahulu ke
bentuk (x – a)2 + (y – b)2 = r2 sehingga persamaan garis singgungnya sama, yaitu:
y – b = m(x – a) ± r 1
A Persamaan Lingkaran
1. Pengertian Lingkaran
Lingkaran adalah tempat kedudukan atau
himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu
titik yang tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan
pusat lingkaran dan jarak yang tetap tersebut dinamakan
jari-jari lingkaran.
Dari gambar di samping, titik O adalah pusat
lingkaran. Titik A, B, C, D terletak pada lingkaran, maka
OA = OB = OC = OD adalah jari-jari lingkaran = r.
2. Persamaan Lingkaran Berpusat di O(0, 0) dan (a, b)
a. Persamaan Lingkaran dengan Pusat di O(0, 0)
Jika titik A(xA , yA) terletak pada lingkaran yang berpusat di O, maka berlaku
OA = jari-jari lingkaran. Dengan menggunakan rumus jarak titik O(0, 0) ke titik
A(xA , yA) diperoleh:
OA = r = ( 0)2 ( 0)2 A A x −y −
r2 = (xA – 0)2 + (yA – 0)2
r2 = xA
2 + yA
2
Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0)
dan berjari-jari r adalah:
x2 + y2 = r2
Untuk lebih memahami tentang cara menentukan
persamaan lingkaran berpusat di O(0, 0),
b. Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik A(a, b)
Jika titik A(a, b) adalah pusat lingkaran dan titik
B(x, y) terletak pada lingkaran, maka jari-jari
lingkaran r sama dengan jarak dari A ke B.
r = jarak A ke B
r2 = (AB)2
= (xB – xA)2 + (yB – yA)2
= (x – a)2 + (y – b)2
Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b)
dan berjari-jari r adalah:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Untuk memahami tentang persamaan lingkaran berpusat di titik A (a, b), perhatikan
3. Menentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran yang Persamaannya
Diketahui
Berdasarkan persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari r adalah:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
Jika –2a = 2A, –2b = 2B dan a2 + b2 – r2 = C, maka diperoleh bentuk umum persamaan
lingkaran:
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, di mana pusatnya (–A, –B) dan jarijari
lingkaran (r) = a2 b2 −C2 atau r = A2 B2 −C
4. Kedudukan Titik dan Garis terhadap Lingkaran
a. Posisi Titik P(x1, y1) terhadap Lingkaran x2 + y2 = r2
1) Titik P(x1, y1) terletak di dalam lingkaran, jika berlaku x1
2 + y1
2 < r2. 2) Titik P(x1, y1) terletak pada lingkaran, jika berlaku x1 2 + y1 2 = r2. 3) Titik P(x1, y1) terletak di luar lingkaran, jika berlaku x1 2 + y1 2 > r2.
Maka ada tiga kemungkinan posisi garis terhadap suatu lingkaran yaitu:
1) Jika D < 0, maka persamaan garis y = mx + n terletak di luar lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, dan tidak memotong lingkaran atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih dari jari-jari lingkaran (k > r).
2) Jika D = 0, maka persamaan garis y = mx + n terletak pada lingkaran
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dan memotong lingkaran di satu titik atau jarak
pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari lingkaran (k = r).
3) Jika D > 0, maka persamaan garis garis y = mx + n terletak di dalam lingkaran
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, dan memotong lingkaran di dua titik atau jarak
pusat lingkaran ke garis lebih kecil dari jari-jari lingkaran (k < r). Perhatikan gambar berikut. D < 0 D = 0 D > 0
B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
1. Persamaan Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik pada
Lingkaran
Telah kamu pelajari bahwa posisi garis terhadap lingkaran ada tiga kemungkinan,
yaitu garis yang memotong lingkaran di dua titik yang berbeda, garis yang tidak memotong
lingkaran, dan garis yang memotong lingkaran di satu titik atau yang sering disebut garis
singgung pada lingkaran.
a. Persamaan Garis Singgung di Titik P (x1, y1) pada Lingkaran
x2 + y2 = r2
Garis singgung l menyinggung lingkaran x2 + y2 = r2 di titik P(x1, y1) karena OP ⊥
garis l.
Persamaan garis singgungnya sebagai berikut.
y – y1 = ml (x – x1)
y – y1 = 1
1
x
y −(x – x1)
y1 (y – y1) = –x1 (x – x1)
y1y – y1
2 = –x1x + x1
2
x1x + y1y = x1
2 + y1
2
x1x + y1y = r2
Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2 di (x1, y1) ialah:
x1x + y1y = r2
b. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik (x1, y1) pada Lingkaran
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
c. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Q(x1, y1) pada Lingkaran
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0
Dari persamaan garis singgung melalui titik Q(x1, y1) pada lingkaran (x – a)2 +
(y – b)2 = r2 adalah:
(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
x1x – ax1 – ax + a2 + y1y – by1 – by + b2 = r2
x1x – a(x1 + x) + a2 + y1y – b(y1 + y) + b2 = r2
x1x + y1y – a(x1 + x) – b(y1 + y) + a2 + b2 – r2 = 0
Misalnya A = –a, B = –b, dan C = a2 + b2 – r2, persamaannya menjadi:
x1x + y1y – a(x1 + x) – b(y1 + y) + a2 + b2 – r2 = 0
x1x + y1y + A(x1 + x) + B(y1 + y) + C = 0
Maka persamaan garis singgung melalui Q(x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 + 2Ax +
2By + C = 0 adalah
x1x + y1y + A(x1 + x) + B(y1 + y) + C = 0
d. Persamaan Garis Singgung Kutub (Polar)
Jika melalui titik A(x1, y1) di luar lingkaran ditarik dua buah garis singgung pada
lingkaran dengan titik singgungnya B(x2, y2) dan C(x3, y3), maka persamaan garis
BC adalah x1x + y1y = r2 disebut garis kutub pada lingkaran dan titik A(x1, y1)
disebut titik kutub.
Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A(x1, y1) di luar lingkaran dapat
ditentukan dengan langkah-langkah:
1) Membuat persamaan garis kutub dari
titik A(x1, y1) terhadap lingkaran.
2) Melalui titik potong antara garis kutub
lingkaran.
3) Membuat persamaan garis singgung
melalui titik potong garis kutub dan
lingkaran.
2. Persamaan Garis Singgung yang Gradiennya Diketahui
a. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran
x2 + y2 = r2
Untuk persamaan garis singgung y = mx + n
⇒x2 + (mx + n)2 = r2
⇔x2 + m2x2 + 2mnx + n2 – r2 = 0
⇔(1 + m2)x2 + 2mnx + n2 – r2 = 0
Syarat menyinggung adalah D = 0, sehingga
(2mn)2 – 4(1 + m2) (n2 – r2) = 0
4m2n2 – 4(n2 + m2n2 – r2 – m2r2) = 0 :4
m2n2 – n2 – m2n2 + r2 + m2r2 = 0
⇔n2 = r2 + m2r2
⇔n2 = r2 (1 + m2)
⇔n = ± r 1m2
b. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Dengan cara seperti mencari persamaan garis singgung dengan gradien m pada
lingkaran x2 + y2 = r2 adalah:
y = mx ± r 1m2
Maka persamaan garis singgung dengan gradien m terhadap lingkaran
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 adalah:
y – b = m(x – a) ± r 1m2
c. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0
Dengan cara yang sama, persamaan garis singgung gradien m terhadap lingkaran
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dapat ditentukan dengan cara mengubah dahulu ke
bentuk (x – a)2 + (y – b)2 = r2 sehingga persamaan garis singgungnya sama, yaitu:
y – b = m(x – a) ± r 1
